Übungsaufgaben
Interaktive Lerneinheit
Kreisflächeninhalt & -umfang · Kreissektoren · Prismen & Zylinder · Cavalieri-Prinzip
ca. 45–60 Min.
6 Aufgabenblöcke
AB I · II · III
Sofortiges Feedback
🔵 Kreis – Umfang und Flächeninhalt
Formeln
Umfang: U = 2 · π · r | Flächeninhalt: A = π · r²
Schiebe den Regler, um zu sehen wie sich Umfang und Fläche mit dem Radius ändern.
4 cm
Umfang U
25,1 cm
Flächeninhalt A
50,3 cm²
🥧 Kreissektor
Formeln
Bogenlänge: b = (α/360°) · 2πr | Fläche: A = (α/360°) · πr²
5 cm
90°
Bogenlänge b
7,9 cm
Fläche A
19,6 cm²
⚖ Cavalieri-Prinzip – Visualisierung
Das Prinzip
Zwei Körper haben dasselbe Volumen, wenn sie auf jeder Höhe dieselbe Schnittfläche haben – egal ob gerade oder schräg.
gerade
Beide Prismen haben immer dasselbe Volumen – die Schnittflächen bleiben gleich.
🥊 Prismen und Zylinder – Überblick
Prisma – Volumen
V = G · h
Prisma – Oberfläche
O = 2G + M
Zylinder – Volumen
V = π·r²·h
Zylinder – Oberfläche
O = 2πr²+2πrh
Quader – Volumen
V = l·b·h
Quader – Oberfläche
O = 2(lb+lh+bh)
Aufgabe 1 AB I
Teilaufgabe a
Ein Kreis hat den Radius r = 5 cm. Berechne Umfang und Flächeninhalt (auf eine Dezimalstelle gerundet).
cm
cm²
Teilaufgabe b
Kreissektor: r = 10 cm, α = 72°. Berechne Bogenlänge und Flächeninhalt des Sektors.
cm
cm²
Teilaufgabe c – Verständnisfrage
Wie lässt sich die Formel A = π · r² durch ein Näherungsverfahren herleiten?
○Man zerlegt den Kreis in gleichmäßige Sektoren und ordnet sie zu einem Parallelogramm um. Für n → ∞ entsteht ein Rechteck mit Seiten r und πr, also A = πr².
○Man misst den Kreis mit einem Lineal aus und quadriert den Radius.
○Man addiert den Umfang so oft, bis man die Fläche erhält.
Aufgabe 2 AB I
Quader: l=12 cm, b=8 cm, h=6 cm | Zylinder: r=4 cm, h=10 cm
Teil a – Quader
Berechne Oberflächeninhalt und Volumen des Quaders.
cm²
cm³
Teil a – Zylinder
Berechne Oberflächeninhalt und Volumen des Zylinders (eine Dezimalstelle).
cm²
cm³
Teil b – Vergleich
Welcher Körper fasst mehr?
○Der Zylinder fasst mehr. Differenz: ca. 73 cm³
○Der Quader fasst mehr. Differenz: ca. 73 cm³
○Beide fassen gleich viel.
Aufgabe 3 AB II
Pizza S: Ø26 cm → 7,50€ · M: Ø32 cm → 10,50€ · L: Ø38 cm → 14,00€
Teil a – Flächeninhalte
Berechne den Flächeninhalt aller drei Pizzen (r = Durchmesser / 2).
cm²
cm²
cm²
Teil b – Preis pro cm²
Welche Pizza ist am günstigsten (niedrigster Preis pro cm²)?
○S-Pizza (ca. 0,01413 €/cm²)
○M-Pizza (ca. 0,01306 €/cm²)
○L-Pizza (ca. 0,01234 €/cm²)
Teil c – Pizzastück
Die L-Pizza (r=19 cm) wird in 8 gleiche Stücke geteilt. Berechne Winkel, Fläche und Bogenlänge eines Stücks.
°
cm²
cm
Teil d – Verständnisfrage
Warum kann man NICHT sagen: „Die L-Pizza kostet fast doppelt so viel wie S, also ist sie ungefähr doppelt so groß“?
○Weil Preis und Fläche beide linear vom Radius abhängen, aber mit verschiedenen Faktoren.
○Weil die Fläche quadratisch vom Radius abhängt (A=πr²) – ein größerer Radius vergrößert die Fläche überproportional zum Preisanstieg.
○Weil Pizzerien einfach unterschiedliche Preise setzen – das hat nichts mit Geometrie zu tun.
Aufgabe 4 AB II
Aquarium A: Sechseck (a=20 cm), h=40 cm | Aquarium B: Zylinder (r=18 cm, h=45 cm)
Teil a – Volumina
Berechne die Volumina beider Aquarien.
Hinweis: A(Sechseck) = (3√3/2)·a² ≈ 1039,2 cm² bei a=20 cm
Hinweis: A(Sechseck) = (3√3/2)·a² ≈ 1039,2 cm² bei a=20 cm
cm³
cm³
Teil b – Wassermenge
Beide Aquarien werden auf ¾ Höhe gefüllt. Berechne die Wassermenge in Litern.
Liter
Liter
Teil c – Steighöhe
Das volle Wasser aus Aquarium A (≈41 569 cm³) wird in Aquarium B (Zylinder, r=18 cm) umgefüllt. Wie hoch steigt es?
cm
Aufgabe 5 AB III
Getränkedose: r=3,3 cm, h=11,5 cm. Neue Form: r=4 cm, gleiches Volumen.
Teil a – Aktuelle Dose
Berechne Volumen und Oberflächeninhalt der aktuellen Dose.
cm³
cm²
Teil b – Neue Dose (r=4 cm)
Gleiche Volumen wie Teil a. Berechne neue Höhe und Oberflächeninhalt.
cm
cm²
Teil d – Analyse: Radius verdoppeln
Eine Freundin sagt: „Wenn man den Radius verdoppelt, muss man nur die Höhe halbieren, damit das Volumen gleich bleibt.“ Stimmt das?
○Nein. Da r quadratisch eingeht (V=πr²h), muss man bei doppeltem Radius die Höhe auf ein Viertel reduzieren: h(neu) = h/4.
○Ja. Verdoppelter Radius und halbierte Höhe ergeben dasselbe Volumen.
○Das lässt sich ohne Rechnung nicht sagen.
Aufgabe 6 AB III
Schräges Prisma: Grundfläche 6×4 cm, senkrechte Höhe 15 cm | Gerader Zylinder: r=4 cm, h=8 cm
Teil a – Volumina
Berechne das Volumen beider Körper.
cm³
cm³
Teil b – Cavalieri am schrägen Prisma
Warum hat das schräge Prisma dasselbe Volumen wie ein gerades mit gleicher Grundfläche und senkrechter Höhe?
○Weil beide Prismen dieselbe Grundfläche haben und die Schrägung das Volumen nicht ändert – jede horizontale Schnittfläche bleibt gleich groß (Cavalieri-Prinzip).
○Weil das schräge Prisma einfach umgekippt ist und das Volumen sich dabei nicht ändert.
○Weil bei gleicher Höhe immer dasselbe Volumen entsteht, egal wie die Grundfläche aussieht.
Teil c – Cavalieri auch für Zylinder?
Eine Mitschülerin sagt: „Das Cavalieri-Prinzip gilt nur für Prismen, nicht für Zylinder.“ Stimmt das?
○Nein. Das Cavalieri-Prinzip gilt für alle Körper – auch schräge Zylinder. Solange auf jeder Höhe dieselbe Querschnittsfläche vorliegt, ist das Volumen gleich.
○Ja, sie hat recht. Zylinder haben keine Ecken und können nicht nach Cavalieri berechnet werden.
○Das lässt sich nicht allgemein sagen.
📐 Kreis und Kreissektor
| Größe | Formel |
|---|---|
| Umfang | U = 2 · π · r |
| Flächeninhalt | A = π · r² |
| Bogenlänge | b = (α/360°) · 2πr |
| Sektorfläche | A = (α/360°) · πr² |
🥊 Prismen und Zylinder
| Körper | Volumen | Oberfläche |
|---|---|---|
| Quader | V = l·b·h | O = 2(lb+lh+bh) |
| Prisma allg. | V = G·h | O = 2G + M |
| Zylinder | V = π·r²·h | O = 2πr²+2πrh |
| Reg. Sechseck | A = (3√3/2)·a² | |
⚖ Cavalieri-Prinzip
Zwei Körper haben dasselbe Volumen, wenn sie auf jeder Höhe dieselbe horizontale Schnittfläche haben.
Folge: V(schräg) = V(gerade) = G · h