Kannst du den Mond erreichen – mit einem Blatt Papier?
Eine scheinbar verrückte Frage – aber die Mathematik gibt eine überraschende Antwort. Starte die Erkundung!
💬
Der Impuls
Schade, dass man ein Blatt Papier nur 7-mal falten kann. Selbst wenn das Blatt nur einen Zehntel Millimeter dick wäre und man es 42-mal falten könnte, könnte man sich den Mond „von oben" anschauen.
— Robert, Klasse 9
🤔 Deine erste Schätzung
Ein Blatt Papier ist 0,1 mm dick. Wie dick wäre es nach 10 Faltungen? Tippe deine Schätzung ein:
🧪
Papierfalten – Simulator
Starte mit einem 0,1 mm dünnen Blatt. Jedes Falten verdoppelt die Dicke. Beobachte, was passiert!
0
Faltungen
Dicke: 0,1 mm
Start0,1 mm
↓
Nach n Faltungen: Dicke = 0,1 · 2ⁿ mm
🔎
Was steckt dahinter?
Beim Falten verdoppelt sich die Dicke jedes Mal. Das lässt sich als Potenz schreiben:
1 Faltung
0,1 · 2¹ = 0,2 mm
3 Faltungen
0,1 · 2³ = 0,8 mm
10 Faltungen
0,1 · 2¹⁰ = ?
Die Hochzahl 1, 3, 10 … ist der Exponent. Die 2 ist die Basis. Der gesamte Ausdruck 2ⁿ ist eine Potenz. Diese Begriffe lernst du in der Einführung kennen.
✏️
Überlege & diskutiere
1. Überprüfe Roberts Behauptung:
Der Mond ist ca. 384.000 km entfernt. Berechne: Wie viele Kilometer wäre das gestapelte Papier nach 42 Faltungen hoch? Ist Roberts Aussage korrekt?
2. Wann wird das Papier 1 Meter dick?
Nutze den Simulator oben. Nach wie vielen Faltungen überschreitet die Dicke erstmals 1000 mm (= 1 m)?
3. Negative Exponenten – was könnte das bedeuten?
Was passiert, wenn man statt zu falten das Papier immer wieder halbiert? Was würde 2⁻¹, 2⁻² oder 2⁻³ dann bedeuten? Schreibe deine Vermutung auf und vergleiche sie mit einem Partner.
💡 Diese Frage beantworten wir in der Einführung!
Lerneinheit 1 · Klasse 9
Potenzen mit ganzzahligen Exponenten
Lerne, was Potenzen sind, wie negative Exponenten funktionieren – und wie du sicher mit ihnen rechnest.
🔤
Die drei wichtigen Begriffe
Potenz
an
Der gesamte Ausdruck aus Basis und Exponent. Beispiel: 2³ = 8
Basis
a
Die Grundzahl, die wiederholt multipliziert wird. Beispiel: Bei 2³ ist die Basis 2
Exponent
n
Die Hochzahl, die angibt, wie oft die Basis als Faktor erscheint. Beispiel: Bei 2³ ist der Exponent 3
23
Basis
2
= Potenz
8
Exponent
3
📋 Definitionen
aⁿ = a·a·…·afür n natürliche Zahl: Basis wird n-mal multipliziert
a⁰ = 1für alle a ≠ 0: jede Zahl hoch 0 ergibt 1
a⁻ⁿ = 1 / aⁿfür a ≠ 0: negativer Exponent = Kehrwert der Potenz
📊
Potenzen der Zahl 2 im Überblick
Schreibweise
Bedeutung
Ergebnis
23
2 · 2 · 2
8
22
2 · 2
4
21
2
2
20
1
1
2−1
1 / 2
0,5
2−2
1 / (2·2)
0,25
2−3
1 / (2·2·2)
0,125
👆 Beachte: Beim Schritt von 2³ zu 2², 2¹, 2⁰ … wird jedes Mal durch 2 geteilt. Das erklärt, warum 2⁰ = 1 und warum negative Exponenten Brüche ergeben.
Schritt für Schritt
Potenzen verstehen & berechnen
Lerne, wie positive, negative und gebrochene Basen mit verschiedenen Exponenten berechnet werden.
🎛️
Interaktiv: Potenz erkunden
−55
−44
2³
= 8
2 · 2 · 2 = 8
📝
Beispiel 1: Positive Exponenten
Aufgabe
Berechne 34
Schritt 1 – Schreibweise entschlüsseln
Der Exponent 4 zeigt: die Basis 3 wird 4-mal als Faktor geschrieben.
34 = 3 · 3 · 3 · 3
Schritt 2 – Berechnen
Schritt für Schritt ausmultiplizieren:
3 · 3 = 9 → 9 · 3 = 27 → 27 · 3 = 81
Ergebnis
34 = 81
📝
Beispiel 2: Negativer Exponent
Aufgabe
Berechne 5−2
Schritt 1 – Regel anwenden
Ein negativer Exponent bedeutet: Kehrwert der Potenz mit positivem Exponenten.